Ciao Gianni,
innanzitutto un caro saluto a te e a tutta la community di TOPGEOMETRI e desidero ringraziarti per il bellissimo corso organizzato sulla poligonale di precisione, ringrazio il Prof. Surace per averci dedicato il suo tempo e per aver condiviso con noi parte della sua grande conoscenza nel campo della Geomatica.
Siamo giunti all’ultimo modulo del corso ove verranno messi in pratica tutti i concetti sviscerati nei precedenti 2 moduli, voglio quindi condividere con voi alcuni lavori reali svolti e proseguirò per tutte e quattro le lezioni in modo da stimolare un dibattito anche qui sul forum attorno i temi trattati in questi mesi.
Modello funzionale e stocastico di un rilievo svolto con stazione totale avente punti iperdeterminati e compensazione a rete libera.
La particolarità di questo lavoro consiste nel fatto che i punti saranno tutti soggetti a compensazione ovvero non vi sono vincoli su nessuno dei punti del rilievo, in pratica si rende così la rete indipendente dalla posizione in cui si fissa il sistema di riferimento e quindi ogni vertice del rilievo avrà varianze e covarianze diverse da zero, in ogni vertice della rete potremmo disegnare un’ellisse di errore in questo caso la forma e le dimensioni dell’ellisse d’errore sarà meno dipendente dal datum fissato infatti se ruotassimo gli assi di riferimento in una rete ai minimi vicoli cambierebbero le varianze e le covarianze ma non i 2 semiassi dell’ellisse d’errore, in generale le ellissi di errore in questo caso saranno più piccole e più circolari (ellisse degenere) diminuiscono cioè sia le varianze che le covarianze.
Partiamo dal libretto delle misure:
Coordinate approssimate provvisorie di tutti i vertici del rilievo:
Grafico del rilievo - problema non geometrizzato:
Applicando uno zoom sui punti si può vedere come le diverse misure celerimetriche piane NON combaciano in virtù degli inevitabili errori casuali (o accidentali) ebbene con l’ausilio del modello funzionale geometrizzeremo il problema, il procedimento utilizzato è anche detto compensazione con il metodo delle variazioni di coordinate, tale metodologia consiste nello scrivere per la rete di punti il sistema di tutte le equazioni generatrici (equazioni delle osservazioni) corrispondenti alle misure effettuate, e ricercare per esso la soluzione che rende minima (idealmente uguale a zero) la differenza tra correzione ed errori per ciascuna equazione generatrice.
Per prima cosa bisogna procedere a calcolare anomalie approssimate e distanze approssimate partendo dalle coordinate provvisorie (si faccia riferimento alla tabella di cui sopra), successivamente occorre linearizzare le equazioni di osservazione che per le direzioni angolari misurate sono determinate dalla seguente relazione:
mentre per le distanze piane l’equazione generatrice risulta:
analizzando queste due equazioni si può osservare che la prima risulta un’equazione goniometrica in quanto le incognite E(j), E(i), N(j) ed N(i) sono argomento della funzione arcotangente, mentre che nella seconda equazione le medesime coordinate compaiono sotto un segno di radice (equazione irrazionale) e la loro differenza è elevata al quadrato; questo indica che le equazioni NON sono lineari e che per tanto per rendere più semplice il calcolo del sistema risolvente andranno linearizzate nell’intorno dei valori approssimati (sempre la tabella di cui sopra) con l’ausilio degli sviluppi in serie di Taylor arrestati al termine di primo grado:
in questo modo l’unica cosa da calcolare è la derivata prima (non vi sono né rapporti di fattoriali né potenze da eseguire) e soprattutto le incognite divengono le differenze tra le coordinate cercate definitive e le coordinate approssimate, l’equazione di osservazione viene pertanto approssimata ad una banale equazione di primo grado:
per funzioni in più variabili come queste la derivata prima risulta essere la derivata parziale prima e si calcola come derivata di funzione di una variabile per volta considerando costanti le altre:
Eseguendo la linearizzazione con gli sviluppi in serie di Taylor troncati al primo termine si ottengono le relazioni semplificate per gli angoli di direzione:
e per le distanze:
per poter mettere a sistema le equazioni di osservazione ora linearizzate occorre verificare la congruità dimensionale e dal controllo si evince che mentre l’equazione delle direzioni angolari è adimensionale (radianti) l’equazione della distanza piana è espressa in metri:
dividiamo l’equazione lineare della distanza piana per la distanza approssimata calcolata a partire dalla coordinate provvisorie dei vertici, così facendo si ha la congruenza dimensionale dei due tipi di equazioni:
il sistema lineare avrà tante equazioni quante sono le osservazioni effettuate (31 osservazioni di direzioni ed altrettante distanze misurate per un totale di 62 osservazioni) e tante incognite quante sono le coordinate Nord ed Est di ogni punto da compensare 15 punti - quindi 30 coordinate a cui si sommano 3 correzioni di orientamento delle tre stazioni celerimetriche (100, 200 e 300) per un totale di 33 incognite da ricavare. Il sistema si può scrivere sotto forma matriciale:
dove la matrice A è detta matrice disegno, il vettore X è detto vettore delle incognite ed il vettore L è il vettore dei termini noti. Siamo in presenza di un sistema di 62 equazioni in 33 incognite (sistema iperdeterminato - sistema impossibile senza nessuna soluzione) riscriviamo il sistema tenendo conto che le misure effettuate sono tutte affette da errori accidentali e quindi si introducono gli scarti di misura, ovvero:
essendo il numero delle equazioni 62 minore delle nuove incognite considerate - incognite principali del vettore X = 33 e 62 incognite secondarie del vettore dei residui V per un totale di 95 incognite, la soluzione di questo sistema è indeterminata.
Tra tutte le possibili combinazioni dei valori v(i), si sceglierà quella che ha la massima probabilità di verificarsi; il che corrisponde, secondo la teoria degli errori (assioma), a ricercare quella combinazione che rende minima la somma dei quadrati degli scarti, secondo il principio dei minimi quadrati:
dove la matrice N viene chiamata matrice normale, questa risulta quadrata, simmetrica e definita positiva le sue dimensioni dipendono dal numero delle incognite (quindi 33 nel nostro caso), mentre il vettore denominato L(n) viene comunemente chiamato vettore dei termini noti normalizzato ove il numero di righe sarà uguale al numero delle incognite (33):
Il sistema normale risulta così composto:
Adesso andrebbe invertita la matrice normale N e moltiplicata per il vettore dei termini noti normalizzato L(n) secondo la seguente relazione:
questo sarebbe possibile se la matrice N non presentasse deficienze di Rango, come già accennato sopra infatti NON essendo la rete definita da alcun datum la risoluzione del sistema deve necessariamente avvenire in modo leggermente diverso (analizziamone almeno 2):
- invertire la matrice normale per mezzo della pseudo-inversa generalizzata;
- inserire delle pseudo osservazioni che leghino i parametri in modo tale che il baricentro del sistema non subisca traslazioni e, rispetto al baricentro, i parametri compensati non abbiano rotazioni rispetto ai parametri approssimati.
pseudo osservazioni che legano i parametri in modo tale che il baricentro del sistema non subisca traslazioni e, rispetto al baricentro, i parametri compensati non abbiano rotazioni rispetto ai parametri approssimati (matrice disegno della rototraslazione piana) nel caso in esame si utilizzano le equazioni delle due traslazioni piane:
matrice normale invertita per mezzo della pseudo-inversa generalizzata:
nuovo sistema Normale scritto seguendo il secondo punto di cui sopra:
SOLUZIONE DEL SISTEMA:
quando si sono linearizzate le equazioni generatrici si è fatto cenno al fatto che nel loro sviluppo venivano trascurati i termini di grado superiore al primo per le correzioni. Questo comporta che il metodo esposto è iterativo: trovato il primo set di valori per le coordinate per i punti in esame, si utilizzano questi come nuovi valori di coordinate approssimate e si ripete la procedura ottenendo un secondo insieme di coordinate che verranno loro volta assunte come nuove coordinate provvisorie e si ripete il calcolo e così via. Generalmente il sistema tende a convergere molto velocemente nel caso in esame alla terza iterazione le coordinate approssimate non differivano se non di quantità assolutamente trascurabili pertanto si sono assunte le coordinate come definitive. Di seguito si riporta la graficizzazione di quanto esposto:
arrivati a questo punto il problema è finalmente geometrizzato, vengono quindi calcolati i residui con le relazioni matriciali viste sopra:
in questo caso particolare l’errore medio dell’unità di peso vale:
dove sotto il segno di radice abbiamo al numeratore la somma dei quadrati dei residui (scarti) e a denominatore la ridondanza che di solito vale (n - m) dove n è il numero di equazioni ed m è il numero delle incognite principali, nel nostro caso si aggiunge un addendo denominato d che corrisponde al numero di pseudo osservazioni aggiunte alla matrice normale N per renderla di Rango pieno ed in questo caso è pari a 3, pertanto si ha una ridondanza pari a 62 - 33 + 3 = 32.
Si passa al modello stocastico, di seguito la matrice di varianza e covarianza (PS in rosso le varianze poste sulla diagonale principale e in celeste le covarianze - sottomatrici 2x2):
Di seguito si riportano i risultati finali dell’elaborazione (coordinate compensate con relativo s.q.m. e parametri dell’ellissi d’errore dell’intera rete:
Si allega file Excel dell’intero elaborato descritto. → Rilievo.
Saluti a tutti.
(fantastico), ma mi sono bloccato su questo passaggio … (vedi immagine). Forse è un refuso oppure non comprendo. Mi puoi dare delle indicazioni più precise? Grazie.
